تالارها ثبت نام نظرسنجی جستجو موقعیت قوانین آخرین ارسالها   چت روم
علم و دانش

مباحث ریاضی

صفحه  صفحه 4 از 4:  « پیشین  1  2  3  4  
#31 | Posted: 16 Feb 2015 17:02
ماشین حساب مهندسی تگزاس اینسترومنتز با قابلیت ترسیم گراف‌ رنگی


علی‌رغم همه‌گیر شدن استفاده از گجت‌های موبایل و توسعه‌ی اپلیکیشن‌های متعدد محاسباتی، برخی افراد استفاده از ماشین حساب‌های سنتی را ترجیح می‌دهند. تگزاس اینسترومنتز نیز ماشین حساب جدید خود را با قابلیت ترسیم گراف برای این دسته افراد معرفی کرده است.
کمپانی تگزاس اینتسترومنتز ماشین حساب مهندسی جدید خود را با قابلیت ترسیم گراف معرفی کرد. این ماشین حساب TI-84 Plus CE نام دارد که در مقایسه با نسخه‌ی پیشین که Plus نام دارد، ۳۰ درصد بایک‌تر شده و وزن آن نیز به اندازه یک سوم کاهش یافته است.
در کنار بهبود‌های انجام شده از نظر ظاهری و وزن، تگزاس اینسترومنتز حافظه‌ی داخلی این ماشین حساب را ۶ برابر افزایش داده که این موضوع کاربران را قادر می‌کند تا گراف‌ها و فرمول‌های بیشتری را در حافظه‌ی این ماشین حساب ذخیره کنند. هنوز سخنی از قیمت این ماشین حساب به میان نیامده است، اما احتمالا باید شاهد قیمت بالاتری در مقایسه با نمونه‌ی پیشین باشیم.
براساس اطلاعات ارائه شده این ماشین حساب بهار سال جاری میلادی روانه‌ی بازار خواهد شد.




به راستی آیا این خداوند است که انسان را آفریده است یا عکس آن؟؟
     
#32 | Posted: 2 Jul 2016 00:11
قضیه آخر فرما

قضیهٔ آخر فرما یکی از مشهورترین قضیههای تاریخ ریاضیات است. این قضیه می‌گوید:



4562

یعنی اعداد صحیح و غیر صفر x و y و z را نمی‌توان یافت که جواب‌های معادله فوق باشند.

پی‌یر فرما ریاضیدان فرانسوی سده ۱۷ (میلادی) در حاشیهٔ کتابی نوشته بود که اثبات این قضیه را در ذهن دارد ولی جای کافی برای نوشتن در اختیار ندارد. این قضیه تا ۱۹۹۴ حل‌نشده باقی مانده بود.

اندرو وایلز استاد دانشگاه پرینستون در سال ۱۹۹۳ با استفاده از نظریه اعداد پیشرفته، اثباتی برای این قضیه ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر ۱۹۹۴ اشکال این راه‌حل توسط خود وایلز و با همکاری یکی از همکارانش به نام «تیلر» برطرف شد.

مرد=زن
     
#33 | Posted: 2 Jul 2016 00:14
گوگل و آخرین قضیه فرما

گوگل امروز، لوگوی خود را به مناسبت سالگرد تولد پیر دو فرما به صورت زیر تغییر داده است:

بسیاری از شماها ممکن است، با دیدن این لوگو، اصلا رغبت نکنید با کلیک‌ها و جستجوهایی مسئله را دنبال کنید، آخر سر درآوردن از زندگینامه یک ریاضیدان فرانسوی که سال ۱۶۶۵ درگذشته، چه فایده‌ای دارد. اما شاید اگر پست زیر را بخوانید و با داستان فرما و آخرین قضیه‌اش آشنا شوید، نظرتان عوض شود و دریابید که گوگل، بی‌جهت، لوگوی اختصاصی در بزرگداشت کسی درج نمی‌کند!

به محض دیدن این لوگو ذهنم رفت به سال‌های دهه شصت و تابستان سال ۶۵! تابستانی گرم، کتابخانه عمومی و دکه روزنامه فروشی.
آدم، وقتی کودک است مطالب خیلی محکم و پاک‌نشدنی در مغزش حک می‌شوند، به همین خاطر تا نام فرما را شنیدم، بلافاصله در ذهنم مقاله‌ای تداعی شد که آن زمان در مجله دانشمند خوانده بودم. مقاله را مرحوم احمد آرام نوشته بود. البته بدیهی است که یک پسربچه نه ساله چیز زیادی از مقاله نمی‌فهمید ولی خوب، دست کم از آن مقاله چهره فرما و اینکه قضیه‌ ریاضی‌ای دارد که سال‌های سال کسی نتوانسته آن را حل کند، کاملا ذهنم بود. سال‌ها بعد جایی خواندم که قضیه حل شده است ولی خوب هیچ وقت خبر کاملی در مورد آن نخوانده بودم و تا امروز هم اطمینان نداشتم که قضیه فرما حل شده است.

لوگوی امروز گوگل باعث شد که بعد از سال‌ها جستجویی کنم، ببینم چه بر سر آخرین قضیه فرما آمده است!

اما داستان آخرین قضیه فرما چیست؟
پی‌یر دو فِرما (Pierre de Fermat) در سال ۱۶۰۱ در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعدها به‌عنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز انتخاب شد.

فِرما، اما علاقه زیادی به ریاضیات داشت و پدر نظریه اعداد جدید به شمار می‌رود. وی همچون بسیاری از دانشمندان دیگر همزمان خود به مطالعه کتاب‌های علمی قدیمی اشتغال داشت. او در نظریه اعداد از کتاب ریاضیدان یوناین، دیوفانتوس، به نام اریتمِتیکا یعنی علم حساب الهام می‌گرفت. این کتاب در قرن شانزدهم توسط اروپاییان بعد از گذشت سالیان زیاد کشف شده بود.

فرما، حواشی فراوانی بر نسخه ارتماتیکای خود نوشته بود و پس از مرگش در سال ۱۶۶۵، پسرش چاپ تازه‌ای از این کتاب را با این حواشی منتشر کرد. یکی از این حواشی به صورت یکی از گفته‌های مشهور در تاریخ ریاضیات درآمده است:

پس از بیان مسئله مربوط به یافتن اعداد مربعی که حاصل دو عدد مربع دیگر هستند (همچون ۲۵ که حاصل جمع ۹ و ۱۶ است)، ترجمه حاشیه لاتینی نوشته‌شده به دست فرما بر کتاب چنین است:
«از سوی دیگر غیرممکن است که عدد مکعبی حاصل جمع دو عدد مکعب دیگر باشد و یک توان چهارم مجموع دو توان چهارم یا به صورت کلی هر عددی که به توانی بزرگ‌تر از دو رسیده است جاصل جمع دو عدد باشد که هر دو به آن توان رسیده‌اند. من راه‌حلی واقعا شگفت‌انگیز، برای این قضیه کشف کرده‌ام که این حاشیه برای نوشتن آن کفایبت نمی‌کند.»

این قضیه به نام آخرین قضیه فرما مشهور شد و با ان که ریاضیدانان سه قرن، برای اثبات آن کوشیده بوند، تا پانزده شانزده سال پیش، کسی نتوانسته بود، آن را اثبات کند.

سال‌های زیادی، قصیه فرما به صورت یکی از مسائل بزرگ حل‌ناشده ریاضیان نوین درآمد.

اما آیا فرما -ریاضیدانی فوق‌العاده‌ای که در تأسیس هندسه تحیلی (با دکارت) و حساب انتگرال و دیفرانسیل (با لاییبنیتس و نیوتون) و حساب احتمالات (با پاسکال) سهیم بوده- حقیقتا «راه حلی واقعا شگفت‌انگیز» برای این قضیه کشف کرده بود؟؟

در راه اثبات قضیه در طی سالیان دراز ریاضیدانانی مثل اویلر، سوفی ژرمن، لژاندر، لامه و دیریکله تلاش کردند، اما آنها فقط روی حالات خاض این قضیه کار کردند.

با وجود جوایزی که برای حل مساله فرما گذاشته شده بود، این قضیه، همچنان حل نشده باقی ماند و رکورددار بیشترین اثباتهای غلط شد. مثلاً بیش از ۱۰۰۰ اثبات غلط در بین سالهای ۱۹۰۸ تا ۱۹۱۲ منتشر گردید.

داستان اثبات آخرین قضیه فرما
فصل پایانی داستان قضیه آخر فرما در سال ۱۹۵۵ آغاز گردید. یوتاکا تانیاما آغازگر این حرکت اساسی بود. وی حدسی را بوجود آورد که به حدس شیمورا-تانیاما-ویل مشهور گردید. این حدس حاکی است که هر خم بیضوی را که بر اعداد گویا تعریف می‌شود، می‌توان به وسیلهٔ توابع پیمانه‌ای بیضوی، پارامتری کرد. در سال ۱۹۸۶، ارتباطی بین حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیهٔ آخر فرما توسط فری و سر ایجاد شد. در همین دهه کن ریبت، بر اساس کارهای انجام شده توسط سر، نشان داد که قضیه آخر فرما از حدس شیمورا-تاناما-ویل نتیجه می‌شود.

کنجکاوی دوران کودکی، انگیزه‌ای برای حل قضیه فرما در بزرگسالی
اندرو جان وایلز (Andrew John Wiles) در ۱۱ آوریل ۱۹۵۳ در کمبریج انگلستان به دنیا آمد. علاقهٔ او به قضیهٔ فرما زمانی که او کودکی ده ساله بود شدت گرفت. او در این باره می‌گوید:
«من ده ساله بودم که روزی در کتابخانه‌ای عمومی یک کتاب ریاضی پیدا کردم. در این کتاب مطالب تاریخی بسیاری دربارهٔ مساله‌ای آمده بود. من در حالی که فقط ده سالم بود، صورت آن مسأله را فهمیدم و سعی کردم آن را ثابت کنم. مسالهٔ جالبی بود. این مساله همان قضیهٔ آخر فرما بود!»

اندرو وایلز در دهه ۱۹۸۰ به دانشگاه پرینستون رفت. وی پس از شروع کار روی قضیه فرما تقریباً تحقیقات دیگرش را کنار گذاشت. تنها کسی که از کار کردن وایلز روی قضیه آخر فرما اطلاع داشت، همسرش بود.

سرانجام در سال ۱۹۹۳، وایلز در تنهایی اتاق خودش به به اثبات حالت خاصی از حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیه آخر فرما موفق شد و در حالی که از اشتیاق نزدیک شدن به حل مساله فراموش کرده بود که از اتاق بیرون بیاید و ناهار بخورد، در عصر یک روز بهاری مساله را حل کرد.

وایلز در این باره می‌گوید:
« ... این مهم‌ترین لحظهٔ زندگی کاری من بود. چیزی که ممکن است هرگز دوباره تکرار نشود!... پس از اتمام کار، حدود بیست دقیقه گیج بودم. سپس در طول روز در دانشکده قدم می‌زدم. وقتی به پشت میزم برگشتم، آنرا همانجا دیدم! هنوز همانجا بود !!...»

وایلز ترتیبی داد که اعلام کنند او در سه جلسه می خواهد حل مساله تانیاما-شیمورا رو ارائه دهد. هیچ کس در آن موقع اطلاع نداشت که این مساله ربطی به قضیه فرما دارد. در انتهای جلسه سوم، حضار به آهستگی متوجه ارتباط این دو مسإله و کشف عظیم وایلز شدند. بعد از اثبات مساله اول، وایلز فقط صورت مساله قضیه ی فرما رو روی تخته نوشت و گفت:‌ «فکر می‌کنم تا همین جا بس باشه!»

وایلز با حل این مساله سریعا به عنوان یکی از معروف‌ترین ریاضیدان‌های زمان خود شناخته شد. گرچه ایرادهایی در حل مسأله بود و وایلز نیاز به دو سال دیگه برای تکمیل اثبات قضیه داشت، ولی نهایتا در سال ۱۹۹۵، یعنی بعد از گذر بیش از ۳۵۰ سال از مطرح شدن قضیه، با مقاله‌ای تحت عنوان «خمهای بیضوی و پیمانه‌ای و قضیه آخر فرما»، قضیه را رسما اثبات کرد.

سیل تبریک‌ها و جوایز مختلف از سال ۱۹۹۵ به بعد به سوی او جاری شد، در حالی که در طول سال‌ها تلاشش برای اثبات قضیه فرما، به خاطر ترک تحقیقات دیگر و کمرنگ شدن کارش مورد سرزنش و مؤاخذه قرار گرفته بود!

واضح است که حلی که فرما در ابتدا ادعا کرده بود بزرگ‌تر از آن است که در حاشیه ی کتاب جا شود، این حل نبوده است. چرا که روش‌های استفاده شده توسط وایلز در زمان فرما هنوز وجود نداشتند. معمای تاریخی همچنان باقی است! هرگز معلوم نخواهد شد که حل فرما چه بوده است؛ آیا راهی ساده‌تر برای حل این مساله وجود دارد که صدها سال به ذهن کسی نرسیده است؟ و یا آن که فرما هم مانند بسیاری از ریاضیدان‌های پس از خودش، راه حلی ناصحیح از مساله داشته است!

متن کامل حل قضیه فرما را در ۱۰۹ صفحه می‌توانید از این لینک دانلود کنید.

منابع: شماره ۲۷۴ مجله دانشمند و ویکی‌پدیا

مرد=زن
     
#34 | Posted: 2 Jul 2016 00:16
آنالیز عددی

آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته(ریاضیاتی که جدا از ریاضیات گسسته است)را مورد مطالعه قرار میدهد. آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق میشود.

معرفی
تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل میشوند.که به روش های مستقیم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار میگیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود،چون این روش میتواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

تخمین زدن خطاها
تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت های آنالیز عددی است این خطاها در روش های تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روش های مستقیم برای حل مسئله استفاده می شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می آید. در آنالیز عددی می توان مقدار خطا را در خر روش که برای حل مسئله به کار می رود، تخمین زد

کاربردها
الگوریتم های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته های مهندسی مورد استفاده قرار می گیرند. برای مثال از این الگوریتم ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما ، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می شود، همچنین اکثر ابر رایانه ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم های آنالیز عددی برنامه ریزی می شوند. به طور کلی آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می کند.

نرم افزار ها
امروزه بیشتر الگوریتم ها توسط رایانه اجرا می شوند نرم افزارهایی برای اجرای محاسبات ریاضی طراحی شده اند. از مهمترین و کاربردی ترین آنها می توان به نرم افزارهایی زیر اشاره کرد:

Maple
Mathematica
GNU Octave
Matlab
Scilab
IDL programming language
R programming language

مرد=زن
     
#35 | Posted: 26 Oct 2017 02:59
یادش بخیر چه مخی بودم. حیف شد همش یادم رفته.
ی زمانی ریاضیات همسرم بود

تنها باش چون واست مفیده
     
#36 | Posted: 26 Oct 2017 07:36
2×2=5
     
#37 | Posted: 1 Jan 2018 22:20
[
     
#38 | Posted: 1 Jan 2018 22:20
[
     
#39 | Posted: 29 Jun 2019 11:59
راز ریاضیات مثلثات در لوح رُسی بابلی «پلیمپتون» برملا شد.

بر اساس گزارش محققان مرکز آمار و ریاضی دانشگاه نیو‌سائوث ولز سیدنی استرالیا، «پلیمپتون ۳۲۲»، مشهورترین لوح بابل قدیم، مربوط به ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد، قدیمی‌ترین لوح مثلثی جهان به شمار می‌آید که احتمالاً توسط پژوهشگران بابلی برای محاسبه چگونگی ساخت اهرام پله‌ای استفاده شده است.

پلیمپتون‌۳۲۲ لوح بابلی ۳،۷۰۰ ساله است که در کتابخانه‌ی دست نوشت‌ها و کتاب‌های کمیاب دانشگاه کلمبیا در نیویورک نگهداری می‌شود. پلیمپتون‌۳۲۲ که یکی از پیچیده‌ترین آثار علمی دنیای باستان محسوب می‌شود، احتمالاً از شهر باستانی «سومر لارسا» نشات گرفته است. شهر سومر در نزدیکی تل‌اسکندریه امروزی در جنوب عراق قرار داشت. تخمین زده می‌شود که این لوح بین سال‌های ۱۷۶۲ تا ۱۸۲۲ قبل از میلاد نوشته شده باشد؛ یعنی تقریباً در زمان «هامورابی» پادشاه ششم اولین سلسله‌ی بابل.

«ادگار جی بنکس» باستان‌شناس، استاد دانشگاه و ماجراجو در اوایل دهه‌ی ۱۹۰۰ موفق به کشف این لوح شد، شخصیت «ایندیانا جونز» را با الهام از وی در کتاب‌ها و فیلم‌ها آوردند. او در دهه‌ی ۱۹۲۰ میلادی این لوح را به «جورج آرتور پلیمپتون» ناشر و فعال کارهای انسان دوستانه فروخت. پلیمپتون در سال ۱۹۳۶ تمامی کلکسیون آثار ریاضی‌اش را به دانشگاه کلمبیا بخشید. این لوح در حال حاضر در بخش کتابخانه‌ی دست نوشت‌ها و کتاب‌های کمیاب قرار دارد.

پلیمپتون ۳۲۲ از رُس ساخته شده و ابعاد آن برابر با ۱۲.۷ در ۸.۸ سانتی‌متر است. گوشه‌ی سمت چپ نشانه‌هایی آشکار از شکستگی در خود دارد. بقایای چسب‌های امروزی نشان می‌دهد که این شکستگی در چند سال اخیر اتفاق افتاده است. بخش جلویی پلیمپتون ۳۲۲ به سه خط عمودی با چهار ستون تقسیم شده است و هر کدام عنوانی دارند. اولین عنوان هم در اثر آسیب دیدگی به شکلی غیر قابل تشخیص در آمده است. اما بقیه‌ی عناوین کاملاً خوانا هستند. بدنه‌ی اصلی بخش جلویی دارای خطوط افقی تمیز با ۱۵ ردیف‌اند که اندازه‌ی بزرگی هم دارند. خطوط عمودی تا بخش تحتانی تداوم پذیرفته است.

دکتر «دانیل مانسفیلد» محقق UNSW بیان کرد: «پلیمپتون‌۳۲۲ بیش از هفتاد سال موجب تحیر و سردرگمی ریاضیدانان شده است، زیرا یافته‌های ما نشان داد که این لوح حاوی الگوی خاصی از اعداد به‌نام اعداد سه‌گانه پیتاگورن است. هدف از این کار به‌عنوان رازی بزرگ نهفته بود؛ اینکه چرا دست نوشته‌ی باستانی عمل نگارش و ذخیره‌ی اعداد را در لوح به انجام رسانیده بود.»

مطالعه‌ی جدید دکتر مانسفیلد و همکارش دکتر «نورمن وایلدبرگر» در مقابل این دیدگاه مقبول همگان قرار دارد که پلیمپتون‌۳۲۲ متن مکتوبی بیش نبود. دکتر مانسفیلد گفت: «تحقیقات ما بر این واقعیت اشاره می‌کند که پلیمپتون‌۳۲۲ با استفاده از نوع جدیدی از مثلثات سعی در توصیف شکل‌های مثلثات زاویه‌ی راست دارد که بر پایه‌ی نسبت‌ها و نه زوایا و دوایر است. در این لوح شاهد عملیات ریاضی خارق‌العاده‌ای هستیم که حکایت از نبوغی سرشار دارد. این لوح نه تنها حاوی قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است بلکه تنها جدول ریاضیاتی کاملاً دقیق نیز به‌شمار می‌رود. بابلیان از روش‌های ریاضی و هندسی کاملاً متفاوتی استفاده می‌کرده‌اند.»

«هیپارکوس» اخترشناس یونانی که در حدود ۱۲۰ سال قبل از میلاد مسیح زندگی می‌کرد، از مدت‌ها پیش به‌عنوان پدر مثلثات شناخته شده است. دکتر وایلدبرگر افزود: « پلیمپتون‌۳۲۲ صد سال قبل‌تر از هیپارکوس است. این لوح نه تنها احتمالاتی را برای تحقیقات ریاضی مدرن باز می‌کند، بلکه می‌تواند آموزش ریاضی را هم تحت تاثیر قرار بدهد. پلیمپتون‌۳۲۲ مثلثات ساده‌تر و دقیق‌تری را به ما نشان می‌دهد که مزایای روشنی نسبت به روش فعلی ما دارد.»

دکتر مانسفیلد زمانی که مواد درسی دانشجویان ریاضی سال اول را تنظیم می‌کرد، به‌طور تصادفی مطالبی را در خصوص پلیمپتون۳۲۲ خواند. او و دکتر وایلدبرگر تصمیم گرفتند تا ریاضیات بابلی را مورد مطالعه قرار داده و تفاسیر تاریخی مختلفی را درباره‌ی مفهوم لوح بررسی نمایند. آنان در توضیحات خود گفتند: «۱۵ ردیف روی لوح نشان دهنده‌ی زنجیره‌ای ۱۵تایی از مثلثات زاویه راست است که زاویه‌ی شیب آن‌ها کاهش می‌یابد. گوشه‌ی سمت چپ لوح شکسته است و ما با تکیه بر تحقیقات قبلی به شواهد ریاضی جدیدی دست یافته‌ایم که می‌گوید شش ستون وجود داشت و لوح با ۳۸ ردیف کامل می‌شد. ما همچنین نشان دادیم که چگونه نویسندگان باستانی توانسته‌اند با استفاده از روش‌های ریاضی خود اقدام به ایجاد اعداد در لوح نمایند. پلیمپتون‌۳۲۲ ابزار قدرتمندی بود که احتمالاً برای بررسی میادین یا انجام محاسبات معماری جهت احداث کاخ‌ها، معابد و یا اهرام پله‌ای مورد استفاده قرار گرفته است.»

این مقاله در مجله‌ی Historia Mathematica منتشر شده است.

نوشته: SciNews
ترجمه: منصور نقی‌لو - مجله علمی ایلیاد

مرد=زن
     
صفحه  صفحه 4 از 4:  « پیشین  1  2  3  4 
علم و دانش انجمن لوتی / علم و دانش / مباحث ریاضی بالا
جواب شما روی این آیکون کلیک کنید تا به پستی که نقل قول کردید برگردید
رنگ ها  Bold Style  Italic Style  Highlight  Center  List       Image Link  URL Link   
Persian | English
  

 ?
برای دسترسی به این قسمت میبایست عضو انجمن شوید. درصورتیکه هم اکنون عضو انجمن هستید با استفاده از نام کاربری و کلمه عبور وارد انجمن شوید. در صورتیکه عضو نیستید با استفاده از این قسمت عضو شوید.



 
Report Abuse  |  News  |  Rules  |  How To  |  FAQ  |  Moderator List  |  Sexy Pictures Archive  |  Adult Forums  |  Advertise on Looti

Copyright © 2009-2019 Looti.net. Looti.net Forum is not responsible for the content of external sites